已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮作业网 时间:2022/05/21 07:28:54
已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值已知函数Y=cos²x+s

已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值
已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值

已知函数Y=cos²x+sinx,求在区间【-π/4,π/4】上的最小值
Y=cos²x+sinx
=1-sin²x+sinx
=-(sin²x-sinx+1/4)+1+1/4
=-(sinx-1/2)²+5/4
=5/4-(sinx-1/2)²
函数sinx在区间【-π/4,π/4】是增函数,
则要使y最小,则要使(sinx-1/2)²最大,
即 在区间【-π/4,π/4】内|sinx-1/2|最大,
则当x=-π/4时,|sinx-1/2|值最大.

y=5/4-(-√2/2-1/2)²
=5/4-(2/4+2√2/4+1/4)
=5/4-3/4-√2/2
=1/2-√2/2

y' = -2*cosX*sinX + cosX
即 y' = cosX*(1-2*sinX)
在【-π/4,π/4】上cosX始终为正,故y'的正负只与1 - 2*sinX有关系
而在【-π/4,π/4】上sinX的值随X的增加而增大,故y'的值在X=-π/4有最大值,在X=π/4时有最小值,其中y'的值由X=-π/4的最大的正值变为X=π/4时的最小的负值,并且当1-2...

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y' = -2*cosX*sinX + cosX
即 y' = cosX*(1-2*sinX)
在【-π/4,π/4】上cosX始终为正,故y'的正负只与1 - 2*sinX有关系
而在【-π/4,π/4】上sinX的值随X的增加而增大,故y'的值在X=-π/4有最大值,在X=π/4时有最小值,其中y'的值由X=-π/4的最大的正值变为X=π/4时的最小的负值,并且当1-2*sinX = 0即X=π/6 时y'=0
所以函数Y=cos²x+sinx 在【-π/4,π/6】上单调增加,在【π/6,π/4】上单调在减小,在X=π/6时有最大值,相应的最小值你应该知道怎么求了吧!
只需比较两端点的纵座标的大小就可以了,小的那个就是最小值。 最小为1/2 - √2/2

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